薛定谔方程
在量子力学里，薛定谔方程（schr?dinger equation）是描述物理系统的量子态怎样随时间演化的偏微分方程，为量子力学的基础方程之一，其以发表者奥地利物理学家埃尔温·薛定谔而命名。关于量子态与薛定谔方程的概念涵盖于基础量子力学假说里，无法从其它任何原理推导而出。
在经典力学里，人们使用牛顿第二定律描述物体运动。而在量子力学里，类似的运动方程为薛定谔方程。薛定谔方程的解完备地描述物理系统里，微观尺寸粒子的量子行为；这包括分子系统、原子系统、亚原子系统；另外，薛定谔方程的解还可完备地描述宏观系统，可能乃至整个宇宙。
薛定谔方程可以分为“含时薛定谔方程”与“不含时薛定谔方程”两种。含时薛定谔方程与时间有关，描述量子系统的波函数怎样随着时间而演化。不含时薛定谔方程则与时间无关，描述了定态量子系统的物理性质；该方程的解就是定态量子系统的波函数。量子事件发生的概率可以用波函数来计算，其概率幅的绝对值平方就是量子事件发生的概率密度。
薛定谔方程所属的波动力学可以数学变换为维尔纳·海森堡的矩阵力学，或理察·费曼的路径积分表述。薛定谔方程是个非相对论性方程，不适用于相对论性理论；对于相对论性微观系统，必须改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。
方程的数学形式含时薛定谔方程含时薛定谔方程描述物理系统随时间演化，其最广义形式为：
术语“薛定谔方程”可以指广义形式的薛定谔方程，也可指具体形式的薛定谔方程。广义形式的薛定谔方程名如其实，可以应用于广泛量子力学领域，表达从狄拉克方程到量子场论的各种方程，只要将哈密顿算符的各种复杂表达式代入即可。通常，具体形式的薛定谔方程所描述的系统是实际系统的简化近似模型，这是为了要避开不必要的复杂数学运算。对于大多数案例，所得到的结果相当准确；但是对于相对论性案例，结果则并不令人满意。对于更详尽的细节，请参阅 相对论性量子力学。
应用薛定谔方程时，必须先给出哈密顿算符的表达式，因此会涉及到计算系统的动能与势能；将算符表达式代入薛定谔方程，再将所得偏微分方程加以解析，即可找到波函数。关于系统的量子态的信息，全部都会包含在波函数中。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程与时间无关，它预言波函数可以形成驻波，称为定态（在原子物理学里，又称为轨道，例如，原子轨道或分子轨道），假若能够计算出这些定态，分析出其量子行为，则解析含时薛定谔方程会变得更为简易。不含时薛定谔方程为描述定态的方程。只有当哈密顿量不与时间显性相关，才会使用这方程。广义形式的不含时薛定谔方程为
这方程的诠释为，假若将哈密顿算符作用于波函数ψ时，得到的结果与同样波函数ψ成正比，则波函数ψ处于定态，比例常数e e是量子态ψ的能量。这方程为又称为“定态薛定谔方程”，引用线性代数术语，这方程为“能量本征薛定谔方程”，e 是“能量本征值”，或“本征能量”。
历史背景与发展1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量 e e与频率 ν v关联在一起的普朗克关系式e=hv
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效应的研究又给予这关系式崭新的诠释：频率为 νv 的光子拥有的能量为 hνhv ；其中，hh 因子是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量p与波长λ成反比，与波数kk成正比，以方程来表示这关系式，
路易·德布罗意认为，不单光子遵守这关系式，所有粒子都遵守这关系式。他于1924年进一步提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波动性与粒子性，这性质称为波粒二象性。电子也不例外的具有这种性质。电子是一种物质波，称为“电子波”。电子的能量与动量分别决定了伴随它的物质波所具有的频率与波数。在原子里，束缚电子形成驻波；这意味着他的旋转频率只能呈某些离散数值。这些量子化轨道对应于离散能级。从这些点子，德布罗意复制出玻尔模型的能级。
在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。检试此方程最简单与基本的方法就是，用此方程来描述氢原子内部束缚电子的物理行为，而必能复制出玻尔模型的理论结果，另外，这方程还必须能解释索末菲模型给出的精细结构。
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论文。
这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。爱因斯坦称赞，这著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才。爱因斯坦觉得，薛定谔已做出决定性贡献。由于薛定谔所创建的波动力学涉及到众所熟悉的波动概念与数学，而不是矩阵力学中既抽象又陌生的矩阵代数，量子学者都很乐意地开始学习与应用波动力学。自旋的发现者乔治·乌伦贝克惊叹，“薛定谔方程给我们带来极大的解救！”沃尔夫冈·泡利认为，这论文应可算是近期最重要的著作。
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是薛定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。
物理意义薛定谔方程和它的解在物理学造成突破性的思维发展。薛定谔方程是一种崭新的方程，关于它的解析引导出很多不同寻常、料想未及的后果。
量子测量
根据哥本哈根诠释，粒子的运动遵守薛定谔方程，直到因被测量而发生波函数坍缩为止。假设对于某系统的某可观察量做测量，而描述这系统的波函数是由这可观察量的几个本征函数量子叠加而成，每次对于这可观察量做测量只能得到本征函数的本征值，不能得到任何其它数值。当波函数坍缩现象发生时，由于粒子与测量仪器彼此相互作用，系统的波函数会按照概率分布随机的约化为原本几个本征函数中的单独一个本征函数。这是量子测量的关键要素，将波函数与可观察量，如位置或动量，关联在一起。
量子系统随着时间流易而演化的两个过程为薛定谔方程预测的演化、波函数坍缩。有些教科书会将这两种过程分别当作量子力学的假设，然后从假设推导出量子力学的其他理论结果。很多物理学者认为，从薛定谔方程无法推导出波函数坍缩。这两种过程具有迥然不同的性质。薛定谔方程预测的演化具有决定性，能够从最初波函数预测未来的最终波函数；它还具有逆反性，能够将时间逆反地从最终态演化回最初态。波函数坍缩具有非决定性，从最初态按照概率分布随机地约化至最终态，无法预测这最终态到底是什么；它还具有非逆反性，测量动作将量子态的信息发掘出来，这是一种无法时间逆反的程序，获得的额外信息无法再还原。
随着时间流易，双缝实验展示出电子累积于探测屏。
量子隧穿效应在经典力学里，当一个圆球慢慢地滚上一座高山，假若它没有足够能量翻过山顶到另一边，它会停止滚动，往反方向滚回。但是，薛定谔方程预测，这圆球跑到另一边的概率大于零，尽管它的能量不足以爬到山顶，这种波动性行为称为量子隧穿效应，无法用微粒说来解释这种效应。特别是对于微观粒子与适当形状的势垒，做实验很容易就可观察到这种效应。阿尔法衰变 就是因为阿尔法粒子摆脱了本来不可能摆脱的强作用力束缚而从原子核逃逸出来的现象。
在势垒左边的粒子没有足够能量越过势垒。但是，它可以量子隧穿到势垒右边。
粒子的波动性非相对论性薛定谔方程是波动方程。遵守这方程进行运动的粒子因此会显示出波动性行为。双缝实验是一个范例，它能够展示出粒子通常不会进行的波动行为。从两条狭缝传播出来的物质波在某些位置会相长干涉，在某些位置又会相消干涉，因此形成复杂的干涉图样。直觉而言，假设，从发射源到探测屏，每次只会出现单独一个粒子，即每次只有一个粒子独自通过两条狭缝，按照微粒说，累积多次发射不应该形成干涉图样。但是，做实验可以实际观察到这干涉图样，如同右图从真正实验获得的图样所展示。这意味着，虽然每次只有一个粒子通过狭缝，这粒子可以同时通过两条狭缝，自己与自己互相干涉。光子、电子、中子、原子、甚至分子，都可以表现出这种奇异的量子行为。